概率论与数理统计

随机事件

样本空间和随机事件

  • 随机试验
    • 可在相同条件下重复进行(可重复性)
    • 全部结果是已知的(结果已知性)
    • 事前无法预知结果(不可预测性)
  • 随机事件
    • 在随机试验中,对某些现象的陈述
    • 必然事件Ω
    • 不可能事件∅
    • 基本事件:一次试验中必发生且最简单的事件
    • 复合事件:若干基本事件组成
  • 样本空间
    • 样本点:试验的每一个可能结果
    • 样本点全体称为样本空间

事件关系和运算

  • 包含
    • A发生必然导致B发生
    • A ⊂ B
    • 如果 A ⊂ B 且 B ⊂ A,则 A = B
  • 和(并)事件
    • A ∪ B
  • 积(交)事件
    • A ∩ B 或者 AB
  • 互不相容(互斥)
    • 事件A,B不可能在一次试验同时发生
  • 对立事件(逆事件)
    • B = {A不发生}
    • B = A
  • 差事件
    • A-B 或 A B

运算律

批注 2020-06-05 115302

事件的概率

事件A发生的可能性大小为P(A) 称为A的概率

A出现的频率 = (A出现的次数/实验总次数)

古典概型

  • 实验结果为有限个
  • 各个结果发生的可能性相等

P(A) = (A出现的次数/实验总次数)

几何概型

允许实验结果为无限个

公理化定义

  • 非负性 ,0 ≤ P(A) ≤ 1
  • 规范性 P(Ω) = 1
  • 完全可加性 n个事件并集概率 = n个事件加起来的概率

性质:

  • P(∅) = 0 不可能事件概率为0
  • n个事件并集概率 = n个事件加起来的概率
  • P(A)+P( A
  • P(B-A)=P(B)-P(AB)
  • P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)

条件概率与事件的独立性

条件概率

已知事件B发生的条件下,事件A发生的可能性的客观度量称为条件概率,记为P(A|B)。

P(A|B) = P(AB) / P(B)

  • 乘法定理

P (AB) = P(A)P(B|A) P (AB) = P(B)P(A|B)

全概率公式

用于多个原因导致一个结果发生

有互不相容事件B1 B2 B3 BN B1...BN 概率和为1 A为Ω中的一个事件 则 A = P(AB1) + P(AB2)...

贝叶斯公式

结果为A的事件,求Bi导致其发生的概率

事件的独立性

若P(A|B) = P(A) 或 P(B|A)=P(B) 或 P(AB)=P(A)P(B)

则事件A与B互相独立

随机变量及其分布

随机变量:对于Ω上的每一样本点w,都有一个实数与之对应,则称X(w)的X为随机变量

分布函数F(x)=P(X<=x>)

离散型随机变量

有一类随机变量可能的取值是有限个或可列无穷个,称之为离散型随机变量

各个可能的取值组合起来称之为随机变量X的分布律

  • 常用离散型分布
    • 0-1分布
    • 二项分布
    • 几何分布
    • 泊松分布

连续型随机变量

一些随机变量的可能取值可充满一个区间,称之为连续型随机变量

常用连续型分布

  • 均匀分布
  • 指数分布
  • 正态分布

二维随机变量及其分布

对于Ω上的每一样本点w,有两个实数XY与之对应,则(X,Y)为二维随机变量

  • 联合分布函数

二维离散型随机变量

二维连续型随机变量

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